Aykut Demir, 22 Ekim 1988’de dünyaya geldi. Futbol kariyerine ilk olarak doğduğu ülkenin takımlarından olan NAC Breda takımında başladı. Takıma katıldığı ilk zamanlarda küçükler ve yıldızlar takımında yer alan Aykut, 1998 yılından 2005 yılına kadar alt kategorilerde forma giydi. Gösterdiği performans sonunda dikkatleri üzerine çeken futbolcu, 2005 yılında ise ilk kez A takıma yükseldi. 4 sezon boyunca forma giydiği takımında forma şansı bulamadı ve sadece 9 maçta kendine şans yarattı.

2007 yılında ise Excelsior takımına kiralık olarak gönderildi. 2 sezon boyunca kiralık olarak oynadığı takımda 33 maça çıkan Aykut, bu maçlarda defans oyuncusu olmasına rağmen 2 kez gol atma başarısı gösterdi. Gösterdiği performans sonucunda Süper Lig’de mücadele eden takımlardan Gençlerbirliği teknik ekibinin dikkatini çekti ve 2009-2010 sezonu öncesi iki tarafın anlaşması sonucu Gençlerbirliği ile 4 yıllık sözleşme imzaladı. Takıma katıldığı ilk zamanlardan itibaren ilk 11’de forma giymeye başlayan Aykut Demir, takımı ile toplamda 115 maça çıktı ve bu maçlara 8 gol atma başarısı gösterdi. Bu performansı ile birçok kulübün transfer listesine giren Aykut, 2013-2014 sezonu öncesi Trabzonspor’a transfer oldu. Bordo mavili takım ile 5 yıllık sözleşme imzaladı. İlk sezonunda çok forma şansı bulamasa da 2014-2015 sezonunda defansif alanda kendini kanıtlayarak takımın değişilmez oyuncularında oldu.

Sonraki yıllarda takım içi değişmelerden dolayı kulüpten ayrılmak zorunda kaldı ve 2016 yılında Osmanlıspor'a transfer oldu. Bordo mavili takım ile 5 yıllık sözleşme imzaladı. İlk sezonunda çok forma şansı bulamasa da 2014-2015 sezonunda defansif alanda kendini kanıtlayarak takımın değişilmez oyuncularında oldu. Sonraki yıllarda takım içi değişmelerden dolayı kulüpten ayrılmak zorunda kaldı ve 2016 yılında Osmanlıspor'a transfer oldu.